回答这个问题，先要从成吉思汗说起。
一，大蒙古国的建立
蒙古，唐朝时称蒙兀，辽金时称萌古，蒙骨等，是东胡语系室韦鞑靼部落一支，源出于俱伦泊（今内蒙呼伦湖）的望建河（今额尔古纳河）流域。回鹘亡国后，蒙古西迁到蒙古高原东部，12世纪，在蒙古高原广大地区散居着许多游牧部落，其中，蒙古部乞颜·孛儿只斤氏在铁木真领导下，逐渐壮大，在与各个部落的攻掠中最终统一了蒙古草原各部。1206年，铁木真在鄂嫩河源头举行忽里台（大聚会之意）大会，受尊号成吉思汗，建立了大蒙古国，此后，成吉思汗和他的子孙，在几十年的时间里，先后灭掉西夏，金，吐蕃，大理和南宋，统一了中国。成吉思汗的孙子忽必烈在位时于1271年改国号为元，定都大都（今北京），忽必烈就是元世祖。
二，明朝时的蒙古
忽必烈建立的元朝在1368年被朱元璋推翻，其残部逃回到蒙古草原，明成祖朱棣虽然先后五次北伐打击蒙古的残余势力，但是成效不大，此后双方处于相持态势。
逃回到蒙古草原的元朝残余势力，又分裂了许多部落，经过几十年的内讧和争斗，只剩下三个强大部落。分别是：鞑靼部落；蒙古部落；瓦剌部落。
鞑靼部落
具有鞑靼血统的鬼力赤是元朝23任大汗坤帖木儿的部下，他刺杀了坤帖木儿，自立24任大汗，后被蒙古另一位部落酋长阿鲁台杀死，另立本雅失里为蒙古25任大汗，鞑靼部落灭亡。
蒙古部落
自本雅失里继任25任大汗后，其内部又开始残杀争斗，到1470年，成吉思汗第15世孙，元益宗脱古思帖木儿6世孙巴图蒙和达延汗统一了蒙古（史称北元中兴），1543年达延汗死后，蒙古部落分为四部，
1，察哈尔部，居住在锡林郭勒盟，其嫡孙统领。
2，鄂尔多斯部，居住在河套地区，其长孙统领。
3，土默特部，居住河套地区。其次孙统领。
4，喀尔喀部，居蒙古，其幼子格埒森扎统领，他也是喀尔喀部之祖。
瓦剌部落（后改称“卫拉特”）
在蒙古衰落后，一直在蒙古统治下的瓦剌部落逐渐强大，到17世纪时，也分为四部，
1，和硕特部，居新疆东部。
2，准噶尔部，居新疆伊宁一带，首领噶尔丹。
3，杜尔伯特部，居新疆北部。
4，土尔扈特部，居新疆塔城。
三，清朝时的蒙古
清朝时蒙古和清朝的关系可分三个阶段
第一阶段，清朝入关前后金和蒙古
蒙古只有一个，本没有内外，因为跟中国的关系的时间有先后，遂被分割，先跟中国合并的南半部（漠南）称内蒙古，后跟中国合并的北半部（漠北）称外蒙古。
如前所述，达延汗16世纪短暂统一蒙古后，他的后裔分为四部，这四部是达延汗的血亲后裔，另外，还有两个较大的部落，跟这四个部落并存，一个是住在东北北部嫩江流域的科尔沁部，一个是住在东北西部的西辽河流域的喀喇沁部落，这六部都在漠南。
六部中的察哈尔部最强，因此该部首领林丹汗一直想统一其他各部，其他各部不愿受林丹汗都统治，先后投降了努尔哈赤的后金。1632年，后金第二任可汗皇太极向察哈尔部进行打击，林丹汗大败，后自杀，残部也投降了后金，至此，内蒙古（漠南）各部落全部归顺后金。
第二阶段，清朝入关后与喀尔喀部
外蒙古在喀尔喀部统治下仍独立于瀚海沙漠之北，已定都北京的清朝无意向北发展，对于拥有内蒙古已心满意足。可是一个意外事件使喀尔喀部主动请求与清政府合作。这就是以伊犁（新疆伊宁）为首都的卫拉特（瓦剌）四部之一的准噶尔汗国，向外蒙古的喀尔喀部发动了战争。
前面我们谈过，达延汗将喀尔喀万户的右翼分封给了他最小的儿子格埒森扎，格埒森扎死后，他的七个儿子析产，形成七个游牧集团，习惯称“七和硕喀尔喀”，七子分掌左右二翼，后来左右二翼分裂为三个汗部。
车臣汗部（外蒙古东部）
土谢图汗部（外蒙古中部）
札萨克图汗部（外蒙古西部）
准噶尔汗国在噶尔丹当可汗后，1688年向喀尔喀三部发动攻击，喀尔喀大败后，决定归附清政府，清康熙帝命三部退回到内蒙古，发给急赈救灾，并亲率大军出长城抗击，噶尔丹大败西退，1695年，噶尔丹再次率军攻打喀尔喀部，康熙帝领军北上一千公里到现在蒙古温都尔汗指挥作战，噶尔丹大败，后自杀，不过形式已不同，外蒙和噶尔丹下辖的科布多，乌梁海两地区，面积
180多万平方公里的土地，自此纳入中国版图。
第三阶段，外蒙独立
自1840年以后，帝国主义列强开始瓜分中国，沙俄趁此机会，通过与清政府签订多项不平等条约，侵占了大片中国领土，同时为了在外蒙古取得更大利益，暗中策动外蒙的贵族和活佛独立，而由于清政府对外蒙的管理和政策得不到外蒙人民的支持，使得外蒙的统治者与沙俄勾结，愿意独立，1911年12月29日，博克多格根称帝独立，1946年中国国民政府正式承认独立，蒙古成为一个独立的主权国家。
通过以上对蒙古民族脉络的叙述，来看“蒙古国总统与成吉思汗有血统关系吗？这个问题，我认为可以从两个角度来回答这个问题。
首先，从狭义或生物学的角度看，虽然喀尔喀部演变成蒙古国，其祖先与成吉思汗有血统关系，但蒙古国已经由帝制转变为共和民主制的国家，作为民选总统，不同于君主制国家的国王血统传承有序，从这一点看，现在的蒙古国总统与成吉思汗不一定有血统关系。
其次，从广义或从国家民族的角度看，全世界所有蒙古民族都把成吉思汗作为自己的伟大祖先，作为自己的民族骄傲进行供奉纪念，从这点看，蒙古国总统与成吉思汗可以说又有血统关系。
