什么叫正交变换？为什么要正交变换

什么叫正交变换？为什么要正交变换

1.正交变换x=Py:指矩阵P是正交矩阵，即P的列(行)向量两两正交,且长度为1。

正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E,即P^（-1）=P^T.

2.正交变换的作用：

①正交变换可以化二次型为标准型。在二次型中，我们希望找到一个可逆矩阵C，经可逆变换x=Cy，使二次型f=x^TAx=（Cy）^TACy=y^T（C^TAC）y变成标准型，也就是要使C^TAC为对角阵。

由实对称矩阵的对角化知，任给对称阵A，总有正交矩阵P，使P^（-1）AP为对角阵,因为正交矩阵P^（-1）=P^T，所以P^TAP为对角阵。

这样，如果我用的是正交变换x=Py，不就可以把二次型f=x^TAx化为f=y^T（P^TAP）y=y^T（P^（-1）AP）y=y^TΛy （其中，Λ为对角阵）了吗。如此一来，就用正交变换实现了二次型的标准化。

这是正交变换的第一个作用。

②正交变换可以研究图形的几何性质。因为正交矩阵满足：P^TP=PP^T=E，所以对于正交变换x=Py，有|x|=√（x^Tx）=√（y^TP^TPy）=√（y^Ty）=|y|.其中，|x|表示向量x的长度。

由此可见，经过正交变换后，|x|=|y|，即向量长度保持不变。

同理可证<Px，Py>=<x，y>，其中< ，>表示两向量的内积。即两向量经同一正交变换后，两向量的内积不变，而刚刚证过，他们的长度也不变，所以两向量的交角不变。

由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变。因此施以正交变换后，图形的几何形状不变，可以利用正交变换研究图形的几何性质。

这是正交变换的第二个作用。

完～打字好累～哦～

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什么是正交变换

　　设M是对称矩阵， P是正交矩阵， N=P^tMP 称为 M的正交变换。

　　（正交矩阵的定义为：P.P^t = E）

　　正交变换既是相似变换，也是相合变换。正交变换不改变M的特征值。

　　这种矩阵元又被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.

　　所谓正交是指【X ，Y】=0 其中X，Y均为向量；而正交矩阵是指：矩阵A具有如A^tA=E（其中E为单位矩阵）性质，则称A为正交矩阵。所以矩阵的正交变换既是指：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。

　　欧几里得空间内正交变换的定义：设V为欧式空间，σ是V上的线性变换，若对于任何α∈V，都有▏σ（α）▏=▏α ▏，则称σ是V上的正交变换。 本回答被网友采纳

什么是正交变换？

什么是正交变换矩阵？

以下是正交变换矩阵的概念

设M是对称矩阵, P是正交矩阵, N=P^tMP 称为 M的正交变换.

(正交矩阵的定义为:P.P^t = E)

正交变换既是相似变换,也是相合变换.正交变换不改变M的特征值.

这种矩阵元又被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式:.则有:它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合,总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数,这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.

所谓正交是指【X ,Y】=0 其中X,Y均为向量;而正交矩阵是指:矩阵A具有如A^tA=E(其中E为单位矩阵)性质,则称A为正交矩阵.所以矩阵的正交变换既是指:若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.

欧几里得空间内正交变换的定义:设V为欧式空间,σ是V上的线性变换,若对于任何α∈V,都有▏σ(α)▏=▏α ▏,则称σ是V上的正交变换.

·什么是正交变换？

首先，正交变换时在欧式空间下的一种线性变换。满足数量乘法＆向量加法封闭。然后它的特殊性在于，它保持向量的内积不变。A《a,b》=<a,b>.