为什么一个指数函数最终会比一个二次的

解答动态

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  举个例子，比较$2^x$和$x^2$的增长情况。如果$f（x）=2^x$，则$f（2x）=2^{2x}=（2^x）^2$。所以加倍输入意味着输出是平方的（！）。相比之下，如果$g（x）=x^2$，则$g（2x）=（2x）^2=4x^2$，因此输出是原来的四倍。最终，平方比四倍强大得多，因此指数函数增长得更快。
  
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  也许仍然是最好的具体例子：$1.0001^x$对$1000x^2$是一个很好的例子。
  你能证明你能找到足够大的$x
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  0$，使$\frac{1000（x+1）^2}{1000x^2}$的比率变小，比如说，$1.00005$吗所有$x\ge x\u 0$？这个比率是$（1+\frac{1}{x}）^2$，人们也许可以尝试解决不等式$1+\frac{1}{x}\le\sqrt{1.00005}$。（使用计算器来计算后者-你得到$x\gex0\大约40000.5$就可以了。）
  现在，从那时起，$1.0001^x$与$1000x^2$相比可能仍然很小，但是只要$x$增加$1$，$1.0001^x$就增加系数$1.0001$，而$1000x^2$最多增加系数$1.00005$。因此，他们的商增长了至少$\frac{1.0001}{1.00005}\约1.00005$。即使一开始它很小（接近$x=x\u 0$），商也会成倍增长，很快就会超过$1$.
  （左为练习：为什么$1.00005^x$最终会比任何常数都大？可以使用$1.00005^x=（1+0.00005）^x\ge 1+0.00005x$，后者通过归纳推理很容易证明，至少对于自然的$x$，即使数学归纳还没有正式引入。）
  我不知道有什么更简单的证明，我诚实的意见是，这可能不是在那个层次上适合引入的主题。也许他们有一位雄心勃勃的老师，很遗憾，他不能认同学生在这一水平上的思维方式，他相信，无论事实多么令人惊奇（指数总是比多项式增长得快），他们都可以通过引入这一事实的证明来激起更多的惊奇。我预计结果会完全相反——孩子们可能会终身推迟数学学习。（不管多么雄伟，可以说，太平洋中部并不是让初学游泳的人去欣赏大海美景的地方。）因此，你最好的策略可能是不做作业，等着看老师会怎么说。至少你能让你的孩子从他们和你一起工作时的沮丧中解脱出来，老师最终可能会提出一些徒劳的论点，我们都会接受“在这个阶段已经足够好了”，然后继续前进。
  
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  也许这比7年级的水平还高，但这是一个系列的扩展给出：
  
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