每个平方有限群是平凡的吗？如果存在一个子集$a\subseteq S$，使

解答动态

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  似乎每个平方有限群都是平凡的。
  设$G$为平方有限群，子集$a$表示$G$的平方性。对于$G$的任何不可约表示$\pi$，表示$u\upi=\sum\ug\ in A}\pi（g）\in\operatorname{End}V\upi$，其中$V\upi$是表示的向量空间。然后，根据$A$的条件，我们得到$u\pi^2=\sum\ux，y\ in A}\pi（xy）=\sum\ug\ in g}\pi（g）$，如果$\pi$不是平凡的，则为$0$，如果$\pi$是平凡的，则为$\g
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  $。也就是说，如果$\pi$是不平凡的，那么$\u\pi$是幂零的，因此$\operatorname{tr}{tr}u \pi=0.
  P若$\pi$是不平凡的$\pi$是不平凡的，那么$\u\pi$是幂零的，因此$\operatorname{tr}}u\u\pi=0{g{{g\g\g}g\g}g}\FRC其中，$g^g$是$g$的共轭类，$g$，最后一个等式来自这样一个事实：$\chi\upi$是一个类函数（每个共轭类上的常数）。由于字符集是类函数空间的正交基，因此函数$g\mapsto\frac{\left
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  g^g\cap A\right
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  }{\left
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  g^g\right
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  }$与$\chiu 1$成正比，后者于$g$。特别地，我们可以在$g$中替换$1$，得到
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